Question

已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．連接AD、BC，點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點．
（1）如圖1，若A、O、C三點在同一直線上，且∠ABO=60°，則△PMN的形狀是

 

，此時

AD

BC

=

 

；
（2）如圖2，若A、O、C三點在同一直線上，且∠ABO=2α，證明△PMN∽△BAO，并計算

AD

BC

的值（用含α的式子表示）；
（3）在圖2中，固定△AOB，將△COD繞點O旋轉，直接寫出PM的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于AB=OB，CD=OC，∠ABO=∠DCO，且∠ABO=60°，則△AOB和△COD都為等邊三角形，又A、O、C三點在同一直線上，則△PMN為等邊三角形，AD=BC．
（2）連接BM、CN，由于△ABO與△MPN都為等腰三角形，且證得∠MPN=∠ABO，則△PMN∽△BAO，

AD

BC

的值可在Rt△BMA中求得．
（3）結合圖形，直接可寫出△COD繞點O旋轉后PM的最大值．

解答：解：（1）連接BM，CN，
∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
∴△AOB與△COD是等邊三角形，
又∵點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點，
∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=

1

2

∠ABO=∠NCO=

1

2

∠OCD=30°，
∴PM=PN=

1

2

BC，
∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，
∵∠BAO=∠DCO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°，
∴∠BPM+∠NPC=360°-2（∠MBP+∠BCN）=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，
∴PM=PN=MN，
∵AD=2MN，BC=2PM，
∴

AD

BC

=1．

（2）證明：連接BM、CN．
由題意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α．
∵A、O、C三點在同一直線上，
∴B、O、D三點在同一直線上．
∴∠BMC=∠CNB=90°．
∵P為BC中點，
∴在Rt△BMC中，PM=

1

2

BC．
在Rt△BNC中，PN=

1

2

BC，
∴PM=PN．
∴B、C、N、M四點都在以P為圓心，

1

2

BC為半徑的圓上．
∴∠MPN=2∠MBN．
又∵∠MBN=

1

2

∠ABO=α，
∴∠MPN=∠ABO．
∴△PMN∽△BAO．
∴

MN

PM

=

AO

BA

．由題意，MN=

1

2

AD，又PM=

1

2

BC．
∴

AD

BC

=

MN

PM

．
∴

AD

BC

=

AO

BA

．
在Rt△BMA中，

AM

AB

=sinα．
∵AO=2AM，
∴

AO

BA

=2sinα．
∴

AD

BC

=2sinα．

（3）

5

2

．
當OC∥AB時，即四邊形ABCO是梯形時，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=

5

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及等邊三角形的確定條件，綜合性強，較為復雜．