Question

．(10分)(1)如圖1，已知點P在正三角形ABC的邊BC上，以AP為邊作正三角形APQ，連接CQ．
①求證：△ABP≌△ACQ；
②若AB＝6，點D是AQ的中點，直接寫出當點P由點B運動到點C時，點D運動路線的長．
(2)已知，△EFG中，EF＝EG＝13，FG＝10．如圖2，把△EFG繞點E旋轉到△EF＇G＇的位置，點M是邊EF＇與邊FG的交點，點N在邊EG＇上且EN＝EM，連接GN．求點E到直線GN的距離．

Answer 1

(1)①因為三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC＝∠PAQ．
所以∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC．
所以∠BAP＝∠CAQ．
所以△ABP≌△ACQ．……………………3分
②3……………………5分
(2)解法一：
過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足．

在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分
類似(1)可證明△EFM≌△EGN，……………………7分
所以∠EFM＝∠EGN．
因為∠EFG＝∠EGF，
所以∠EGF＝∠EGN，
所以GE是∠FGN的角平分線，……………………9分
所以點E到直線FG和GN的距離相等，
所以點E到直線GN的距離是12．……………10分
解法二：
過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足．過點E作直線GN的垂線，點K為垂足．

在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分
類似(1)可證明△EFM≌△EGN，……………………7分
所以，∠EFM＝∠EGN．
可證明△EFH≌△EGK，……………………9分
所以，EH＝EK．
所以點E到直線GN的距離是12．………………10分
解法三：
把△EFG繞點E旋轉，對應著點M在邊FG上從點F開始運動．

由題意，在運動過程中，點E到直線GN的距離不變．
不失一般性，設∠EMF＝90°．
類似(1)可證明△EFM≌△EGN，
所以，∠ENG＝∠EMF＝90°．
求得EM＝12．
所以點E到直線GN的距離是12．
(酌情賦分)

略