Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，AB＝10，D為AC上點．將BD繞點B順時針旋轉60°得到BE，連接CE．

（1）證明：∠ABD＝∠CBE；

（2）連接ED，若ED＝2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據三角形的內角和得到∠ABC＝60°，根據旋轉的性質得到∠EBD＝60°，根據角的和差即可得到∠ABD＝∠CBE；

（2）過D作DH⊥AB于H，解直角三角形得到AD＝2DH，AH＝DH，求得BH＝10﹣DH，推出△BDE是等邊三角形，得到BD＝DE＝2，根據勾股定理列方程即可得到結論．

（1）∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝60°，

∵將BD繞點B順時針旋轉60°得到BE，

∴∠EBD＝60°，

∴∠ABD＝60°﹣∠CBD，∠CBE＝60°﹣∠CBD，

∴∠ABD＝∠CBE；

（2）過D作DH⊥AB于H，

∵∠A＝30°，

∴AD＝2DH，AH＝DH，

∴BH＝10﹣DH，

∵將BD繞點B順時針旋轉60°得到BE，

∴BE＝BD，

∴△BDE是等邊三角形，

∴BD＝DE＝2，

在Rt△BDH中，BD2＝BH2+DH2，

即（2）2＝（10﹣DH）2+DH2，

解得：DH＝，或DH＝4（不合題意舍去），

∴AD＝2，

∵AC＝5，

∴CD＝3，

∴＝．