Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD內接于⊙O，點E是上一點（不與A、B重合），點F是上一點，連接OE，OF，分別與AB，BC交于點G，B，且∠EOF＝90°．有下列結論：①＝；②四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；③△GBH周長的最小值為2+；④若BG＝1﹣，則BG，GE，圍成的面積是，其中正確的是_____．（把所有正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①③．

【解析】

連接OC、OB、CF、BE．①先證明，，再由，即可證明結論①正確；
②證明△BOG≌△COH，得出OG=OH，證出△OGH是等腰直角三角形，S△OBG=S△OCH，證明S四邊形OGBH=S△BOC=S正方形ABCD=定值即可；
③求出AG=BH，利用等線段代換和等腰直角三角形的性質得△BGH的周長=AB+OG=2+OG，利用垂線段最短得到當OG⊥AB時，OG的長最小，此時OG=1，即可得出結論；
④求出∠BOG的度數，由扇形的面積減去三角形的面積即可得出結論．

如圖所示，連接OC、OB、CF、BE．

∵∠BOE+∠BOF＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，

∴∠BOE＝∠COF，

∴，

∵，

∴；故①正確，

在△BOG與△COH中，，

∴△BOG≌△COH（ASA），

∴OG＝OH，BG＝CH，

∵∠HOG＝90°

∴△OGH是等腰直角三角形，

∴S△OBG＝S△OCH，

∴S四邊形OGBH＝S△BOC＝S正方形ABCD＝定值，故②錯誤；

∵AB＝BC，BG＝CH，

∴AG＝BH，

∴△BGH的周長＝BG+BH+GH＝BG+AG+OG＝AB+OG＝2+OG，

當OG⊥AB時，OG的長最小，此時OG＝1，

∴△GBH周長的最小值為2+，故③正確；

作OM⊥AB于M，則OM＝BM＝AB＝1，OB＝OM＝，

∴GM＝，

∴tan∠GOM＝＝，

∴∠GOM＝30°，

∵∠BOM＝45°，

∴∠BOG＝45°﹣30°＝15°，

∴扇形BOE的面積＝＝，

∵BG＝1﹣，

∴AG＝1+，

過G作GP⊥BO于P，

∴PG＝PB＝﹣，

∴△OBG的面積＝××（﹣）＝﹣，

∴BG，GE，圍成的面積＝扇形BOE的面積﹣△BOG的面積＝﹣+，故④錯誤；

故答案為：①③．