Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，點D在邊AC上（不與點A，C重合）連接BD，點K為線段BD的中點，過點D作DE⊥AB于點E，連結CK，EK，CE，將△ADE繞點A順時針旋轉一定的角度（旋轉角小于90°）

（1）如圖1，若α=45°，則△ECK的形狀為______；

（2）在（1）的條件下，若將圖1中的△ADE繞點A旋轉，使得D，E，B三點共線，點K為線段BD的中點，如圖2所示，求證：BE-AE=2CK；

（3）若△ADE繞點A旋轉至圖3位置時，使得D，E，B三點共線，點K仍為線段BD的中點，請你直接寫出BE，AE，CK三者之間的數量關系（用含α的三角函數表示）．

Answer 1

【答案】（1）△ECK是等腰直角三角形；（2）見解析； （3）BE-AEtanα=2CK．理由見解析．

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊中線的性質及等腰直角三角形的性質證明EK=KC，∠EKC =90°即可；

（2）在BD上截取BG=DE，連接CG，設AC交BF于Q，結合等腰直角三角形的性質利用SAS可證△AEC≌△BGC，由全等三角形對應邊、對應角相等的性質易證△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜邊中線的性質可得CK=EK=KG，等量代換可得結論.

（3）在BD上截取BG=DE，連接CG，設AC交BE于Q，根據等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得=，易證△CAE∽△CBG，由直角三角形斜邊中線的性質等量代換可得結論.

（1）解：結論：△ECK是等腰直角三角形．

理由：如圖1中，

∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠A=∠CBA=45°，

∴CA=CB，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∵DK=KB，

∴EK=KB=DK=BD，

∴∠KEB=∠KBE，

∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，

∵∠DCB=90°，DK=KB，

∴CK=KB=KD=BD，

∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，

∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，

∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，

∴△ECK是等腰直角三角形．

（2）證明：如圖2中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設AC交BF于Q．

∵∠α=45°，DE⊥AE，

∴∠AED=90°，∠DAE=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AE=BG，

∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∵AC=BC，

∴△AEC≌△BGC（SAS），

∴CE=CG，∠5=∠BCG，

∴∠ECG=∠ACB=90°，

∴△ECG是等腰直角三角形，

∵KD=KB，DE=BG，

∴KE=KG，

∴CK=EK=KG，

∴BE-AE= BE-BG=EG=EK+KG =2CK．

（3）解：結論：BE-AEtanα=2CK．

理由：如圖3中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設AC交BE于Q．

，∠ACB=90°，

∠CAE=∠CBG，

在RtACB中，tanα=，

在Rt△ADE中，tanα==，

∴=，

∴△CAE∽△CBG，

∴∠ACE=∠BCG，

∴∠ECG=∠ACB=90°，

∵KD=KB，DE=BG，

∴KE=KG，

∴EG=2CK，

∵BE-BG=EG=2CK，

∴BE-DE=2CK，

∴BE-AEtanα=2CK．