Question

【題目】在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形的兩個頂點，分別在軸、軸的正半軸上，點是原點．現在將正方形繞原點順時針旋轉，當點第一次落在直線上時停止．旋轉過程中，邊交直線于點，邊交軸于點．

（1）若點，求此時點的坐標及的值；

（2）若的周長是，在旋轉過程中，值是否會發生變化？若不變，請求出這個定值，若有變化，請說明理由；

（3）設，當為何值時的面積最小，最小值是多少？并直接寫出此時內切圓半徑．

Answer 1

【答案】(1) b=,C（，-）;(2) p值無變化, 2;(3) 3-2.

【解析】

（1）根據，正方形的邊長為1，利用勾股定理求出b，過AD⊥x軸，CF⊥x軸，證明△ADO≌△OFC，得到OF=AD=，FC=DO=故可求解；

（2）延長BA交y軸于E點，可以證明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN證得：OE＝ON，AE＝CN，MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．從而求得：P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2．即可求解．

（3）Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，所以（1n）2＋（1m＋n）2＝m2m2mn＋2m＝0．把這個方程看作關于n的方程，根據一元二次方程有解的條件，即可求得．

（1）∵，正方形的邊長為1

∴

解得b=（負值舍去），

∴

過AD⊥x軸，CF⊥x軸，

∵∠AOC＝90°

∴∠AOD+∠COF＝90°

又∠AOD+∠OAD＝90°

∴∠OAD=∠COF

又∠ADO=∠OFC＝90°，AO=OC

∴△ADO≌△OFC

∴OF=AD=，FC=DO=

∴C（，-）；

（2）p值無變化

證明：延長BA交y軸于E點，

∵，

∴

在△OAE與△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（AAS）

∴OE＝ON，AE＝CN

在△OME與△OMN中，

∴△OME≌△OMN（SAS）

∴MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN

∴P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2；

（3）設AM＝n，則BM＝1n，CN＝mn，BN＝1m＋n，

∵△OME≌△OMN，

∴S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m

在Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2

∴（1n）2＋（1m＋n）2＝m2

故n2mn＋1m＝0，把方程看作關于n的一元二次方程，方程有解,

∴△＝m24（1m）≥0，解得m≥22或m≤22，

∴當m＝22時，△OMN的面積最小，為1．

把m＝22代入n2mn＋1m＝0

解得n＝1，

則BM＝1n＝2，BN＝1m＋n＝2，

∴Rt△BMN的內切圓半徑為＝32．