Question

【題目】如圖，正方形中，，是邊的中點，點是正方形內一動點，，連接，將線段繞點逆時針旋轉得，連接，.

（1）求證：；

（2）若，，三點共線，連接，求線段的長.

（3）求線段長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）的最小值是.

【解析】

（1）根據正方形的性質易證，即可得證；

（2）過作的垂線，交的延長線于，利用勾股定理得出，，再證得，得出，設，則，由勾股定理得：，求得，，再利用勾股定理求得

（3）由于，所以點可以看作是以為圓心，2為半徑的半圓上運動，延長到點，使得，連接，證得，得，故當最小時，為、、三點共線，根據勾股定理得出，利用求出最小值.

（1）證明：如圖1，由旋轉得：，，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，

即，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴；

（2）解：如圖2，過作的垂線，交的延長線于，

∵是的中點，且，

∵，，三點共線，

∴，

由勾股定理得：，

∵，

∴，

由（1）知：，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

設，則，

由勾股定理得：，

或（舍），

∴，，

由勾股定理得：.

（3）解：如圖3，由于，所以點可以看作是以為圓心，2為半徑的半圓上運動，

延長到點，使得，連接，

∵，，

∴，

∴，

當最小時，為、、三點共線，

，

∴，

∴的最小值是.