Question

【題目】如圖,已知點D為等腰直角△ABC內一點,∠CAD=∠CBD=15o,E為AD延長線上的一點,且CE=CA,若點M在DE上,且DC=DM。則下列結論:①∠ADB=120°；②△ADC≌△BDC；③線段DC所在的直線垂直平分AB；④ME=BD；正確的有（ ）

A. 1個B. 4個C. 2個D. 3個

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接CM，求出∠DAB=∠DBA=30°，即可得∠ADB=120°；求出AD=BD，可證△ADC≌△BDC；求出∠ACD=∠BCD=45°，根據等腰三角形三線合一可得線段DC所在的直線垂直平分AB；求出∠MDC=60°，得等邊三角形CMD，得出CM=CD，求出∠EMC=∠ADC=120°，證△ADC≌△EMC，推出AD=EM即可．

解：連接MC，在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，

∴∠ADB=120°，故①正確；
∴BD=AD，

又∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，
∴△BDC≌△ADC（SSS），故②正確；
∴∠DCA=∠DCB=45°，即CD平分∠BCA，

∴線段DC所在的直線垂直平分AB，（等腰三角形三線合一），故③正確；
∴∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∵DC=DM，
∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=DB，
∴ME=BD，故④正確．

正確的有：①②③④.

故選B.