Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積；

（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A坐標（2，0），點B坐標（﹣4，0），點C坐標（0，2）；（2）；（3）M坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．

【解析】

試題分析：（1）分別令y=0，x=0，解方程后即可得點A，B，C的坐標；（2）分AB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況求解決可；（3）分A、C、M為頂點三種情形討論，分別求解即可解決問題．

試題解析：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴點A坐標（2，0），點B坐標（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴點C坐標（0，2）．

（2）當AB為平行四邊形的邊，

∵AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，

∴點E的橫坐標為﹣7或5，

∴點E坐標（﹣7，﹣）或（5，﹣），此時點F（﹣1，﹣），

∴以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積=6×=．

當AB為平行四邊形的對角線時，點F為拋物線的頂點，即F（-1，），所以點E的坐標為（-1，-），

∴以A，B，E，F為頂點的平行四邊形的面積=.

（3）如圖所示，①當C為頂點時，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN==，

∴點M1坐標（﹣1，2+），點M2坐標（﹣1，2﹣）．

②當M3為頂點時，∵直線AC解析式為y=﹣x+1，

線段AC的垂直平分線為y=x，

∴點M3坐標為（﹣1，﹣1）．

③當點A為頂點的等腰三角形不存在．

綜上所述點M坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．