Question

某風景管理區，為提高游客到某景點的安全性，決定將到達該景點的步行臺階進行改善，如圖，改善后的臺階坡面AD的長為50m（BC所在地面為水平面），坡角由45°減至30°．
（1）求改善前的臺階坡面AB的長；
（2）求臺階所在地面增加部分BD的長．（計算結果都保留根號）．

Answer 1

分析：（1）根據題義求出AC，再在Rt△ACB中求得AB．
（2）在Rt△ACD中利用三角函數求得DC，再在Rt△ACB中，求出BC即可得出BD．

解答：解：（1）在Rt△ACD中∠D=30°，AD=50，（1分）
∵sin∠D=

AC

AD

，
∴AC=AD•sin∠D，（2分）
=50×

1

2

=25，
在Rt△ACB中∠ABC=45°，（3分）
∵sin∠ACB=

AC

AB

，
∴AB=

AC

sin∠ABC

，（4分）
=

25

2 2

=25

2

，
答：改善前的臺階坡面AB的長為25

2

米．

（2）在Rt△ACD中∠D=30°，AD=50，
∵cos∠D=

DC

AD

，
∴DC=AD•cos∠D，（6分）
=50×

3

2

=25

3

，
又∵在Rt△ACB中∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，（7分）
∴BC=AC=25，（8分）
∴BD=DC-BC=25

3

-25．（9分）
答：臺階所在地面增加部分BD的長為（25

3

-25）米．

點評：本題是基礎題，考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，以及勾股定理的運用．