Question

（2013•溧水縣二模）我區的某公司，用1800萬元購得某種產品的生產技術、生產設備，進行該產品的生產加工，已知生產這種產品每件還需成本費40元．經過市場調研發現：該產品的銷售單價，需定在100元到200元之間為合理．當單價在100元時，銷售量為20萬件，當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件新產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少1萬件；設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為W（萬元）．
（年利潤=年銷售總額-生產成本-投資成本）
（1）直接寫出y與x之間的函數關系式；
（2）求第一年的年獲利W與x之間的函數關系式，并請說明不論銷售單價定為多少，該公司投資的第一年肯定是虧損的，最小虧損是少？
（3）在使第一年虧損最小的前提下，若該公司希望到第二年的年底，彌補第一年的虧損后，兩年的總盈利為1490萬元，且使產品銷售量最大，銷售單價應定為多少元？

Answer 1

分析：（1）銷售量是用20萬件減去因價格上漲而導致銷量減小的量，據此可以列出函數關系式．
（2）根據條件，求出二次函數解析式，從中找出最值以及相應的自變量范圍．
（3）根據兩年的總盈利為1490萬元列出一元二次方程求解即可．

解答：解：（1）y=20-

x-100

10

=-0.1x+30；

（2）W=（x-40）（-0.1x+30）-1800
=-0.1x²+34x-3000
=-0.1（x-170）²-110…（5分）
∵不論x取何值，-0.1（x-170）²≤0，
∴W=-0.1（x-170）²-110＜0，
即：不論銷售單價定為多少，該公司投資的第一年肯定是虧損 
∵100＜x≤200
∴當x=170時，第一年最少虧損110萬元．

（3）依題意得
（x-40）（-0.1x+30）-110=1490  
解之得x₁=140   x₂=200  
∵k=-0.1＜0，∴y隨x增大而減小，
∴要使銷量最大，售價要最低，即x=140元；

點評：此題考查了二次函數的應用，為數學建模題，借助二次函數及一元二次方程解決實際問題．