Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時， 求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE．

又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE．

∴DE=CE+CD=AD+BE

（2）△ADC≌△CEB成立，DE=AD+BE．不成立，此時應有DE=AD﹣BE．

證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE．

又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，

∴△ADC≌△CEB．

∴CD=BE，AD=CE．

∴DE=AD﹣BE

【解析】（1）直角三角形中斜邊對應相等，即可證明全等，再由線段對應相等，得出②中結論；（2）由圖可知，△ADC與△CEB仍全等，但線段的關系已發生改變．