Question

如圖①所示，直線l：

4

3

x+4交x軸、y軸于點A、B，直線l∥m交x軸、y軸于點C、D．過點A、D作直線n，所構(gòu)成△BAD為直角三角形．直線n以每秒1個單位的速度向DC方向平移至點C停止，設(shè)運動時間為t．
（1）求直線n（未運動時）與直線m的函數(shù)解析式．
（2）請直接寫出直線n運動至點C時的t值，并試求直線l與直線m之間的距離．
（3）如圖②，當直線n運動到點c時，在點c右側(cè)是否存在直線s：x=b，使得它與直線l、直線m與直線n所構(gòu)成的四邊形的面積為25．若存在，請求出直線s的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線l的解析式求出點A、B的坐標，然后根據(jù)△ABO與△DAO相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再根據(jù)兩平行直線的解析式k值相等，利用待定系數(shù)法列式求解即可得到直線m、n的解析式；
（2）根據(jù)直線m的解析式求出點C的坐標，得到OC、OD的長度，然后利用勾股定理列式計算求出CD的長度，再根據(jù)速度是每秒1個單位求解t的值，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出AD的長，即為直線l、m間的距離；
（3）假設(shè)存在直線s，先根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AE、CE的長度，再根據(jù)直線l、m的解析式求出HG、HF的長度，然后根據(jù)所構(gòu)成的四邊形的面積=S_△AGH-S_△ACE-S_△FCH，列式進行求解即可．

解答：解：（1）當y=0時，

4

3

x+4=0，解得x=-3，
當x=0時，y=4，
∴點A、B的坐標為A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵△BAD為直角三角形，
∴AD⊥AB，
明顯可得△ABO∽△DAO，
∴

OA

OD

=

OB

OA

，
即

3

OD

=

4

3

，
解得OD=

9

4

，
∴點D的坐標為（0，-

9

4

），
設(shè)直線n的解析式為y=kx-

9

4

，
則-3k-

9

4

=0，
解得k=-

3

4

，
∴直線n的解析式為y=-

3

4

x-

9

4

，
∵直線m與l平行，且經(jīng)過點D，
∴直線m的解析式為y=

4

3

x-

9

4

；

（2）當y=0時，

4

3

x-

9

4

=0，
解得x=

27

16

，
∴點C的坐標為（

27

16

，0），
∴OC=

27

16

，
∴CD=

OD2+OC2

=

( 9 4 )2+( 27 16 )2

=

45

16

，
∴t=CD÷1=

45

16

，
在Rt△ACD中，AC=3+

27

16

=

75

16

，
AD=

AC2-CD2

=

( 75 16 )2-( 45 16 )2

=

60

16

=

15

4

，
∴直線l、m間的距離為

15

4

；

（3）如圖，假設(shè)存在直線s=b，
則CH=b-

27

16

，F(xiàn)H=

4

3

b-

9

4

，HG=

4

3

b+4，AH=b-（-3）=b+3，
∴S_△FCH=

1

2

CH•FH=

1

2

（b-

27

16

）（

4

3

b-

9

4

），S_△AGH=

1

2

AH•HG=

1

2

（b+3）（

4

3

b+4），
又∵由CE⊥AB，可得△ACE∽△ABO，
∴

OA

AE

=

OB

CE

=

AB

AC

，
即

3

AE

=

4

CE

=

5

75 16

，
解得AE=

45

16

，CE=

15

4

，
∴S_△ACE=

1

2

AE•CE=

1

2

×

45

16

×

15

4

=

1

2

×

675

64

，
∴四邊形的面積=S_△AGH-S_△ACE-S_△FCH，
=

1

2

（b+3）（

4

3

b+4）-

1

2

×

675

64

-

1

2

（b-

27

16

）（

4

3

b-

9

4

）=25，
整理得，

25

2

b=

1675

32

，
解得b=

67

16

，
∵

67

16

＞

27

16

，
∴直線s在點C的右側(cè)，
故存在直線s：x=

67

16

，使得它與直線l、直線m與直線n所構(gòu)成的四邊形的面積為25．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)，坐標與圖形的變化，待定系數(shù)法求直線解析式，兩平行直線的k值相等，求解數(shù)據(jù)比較復(fù)雜，運算量較大，計算時要仔細認真，對運算能力要求比較高．