Question

（2005•黑龍江）如圖所示，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，AB=25，頂點C在y軸的負半軸上，tan∠ACO=，點P在線段OC上，且PO、PC的長（PO＜PC）是關于x的方程x²-（2k+4）x+8k=0的兩根．
（1）求AC、BC的值；
（2）求P點坐標；
（3）在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據tan∠ABC=-，可設AC=3a，BC=4a則AB=5a，5a=25，a=5，所以AC=15，BC=20；
（2）根據面積公式可求得OC=12，因為PO+PC=4+2k=12，所以k=4，根據PO、PC的長（PO＜PC）是關于x的方程x²-（2k+4）x+8k=0的兩根．可求得PO=4，即P（0，-4）；
（3）根據梯形的性質求出點Q的坐標分為兩種情況：②AP平行于CQ，②AC平行于PQ，先分別求出AP和AC的解析式y_AP=-x-4和y_AC=-x-12，結合兩直線平行時，k的值相等，求出對應的Q坐標，結合點P的坐標利用待定系數法可求得直線PQ解析式為：y=-x-4或y=-x-4．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABC，
∴tan∠ABC=-，
Rt△ABC中，設AC=3a，BC=4a，
則AB=5a，5a=25，
∴a=5，
∴AC=15，BC=20．

（2）∵S_△ABC=AC•BC=OC•AB，
∴OC=12∴PO+PC=4+2k=12，
∴k=4，
∴方程可化為x²-12x+32=0，解得x₁=4，x₂=8；∵PO＜PC，
∴PO=4，∴P（0，-4）．

（3）存在，直線PQ解析式為：y=-x-4或y=-x-4，
說明：如果學生有不同于本參考答案的解題方法，只要正確，可參照本評分標準，酌情給分．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．