Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線y＝x²＋bx＋c經過點B，且頂點在直線x＝上．
(1)求拋物線對應的函數關系式；
(2)若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標；
(4)在(2)、(3)的條件下，若點M是線段OB上的一個動點(點M與點O、B不重合)，過點M作MN∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1) .(2)是，理由見解析；（3）(，).（4）當時，S取最大值是.此時，點M的坐標為(0，).

解析試題分析：（1）根據拋物線y＝x²＋bx＋c經過點B（0，4），以及頂點在直線x=上，得出b，c即可；
（2）根據菱形的性質得出C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點的性質得出x=5或2時，y的值即可．
（3）首先設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b，求出解析式，當x=時，求出y即可；
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進而得出，得到ON=t，進而表示出△PMN的面積，利用二次函數最值求出即可．
試題解析：（1）∵拋物線y＝x²＋bx＋c經過點B(0，4)，∴c＝4.
∵頂點在直線x＝上，∴，解得.
∴所求函數關系式為.
（2）C、D兩點的坐標分別是(5，4)、(2，0)，
當x＝5時，；
當x＝2時，.
∴點C和點D都在所求拋物線上.
（3）設CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，
設直線CD對應的函數關系式為y＝kx＋b，
則，解得，.∴直線CD對應的函數關系式為
當x＝時，.∴P(，).
（4） (0＜t＜4).
∵，
∴當時，S取最大值是.此時，點M的坐標為(0，).
考點：二次函數綜合題．