Question

我們給出如下定義：三角形三條中線的交點稱為三角形的重心．一個三角形有且只有一個重心．可以證明三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍．
可以根據上述三角形重心的定義及性質知識解答下列問題：
如圖，∠B的平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直，并且BE=AD=4
（1）猜想AG與GD的數量關系，并說明理由；
（2）求△ABC的三邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據BE平分∠B可知∠ABG=∠DBG，再根據全等三角形的判定定理可知△ABG≌△DBG，由全等三角形的對應邊相等即可得出結論；
（2）延長BA到F，使AF=BA，由AD是BC的中線，可知AD是△BFC的一條中位線，延長BE交CF于H點，則BH垂直平分FC，可知E是△BFC的重心，由三角形重心的性質可求出AE、EH、HC的值，再根據勾股定理求出BC、EC的長，進而可得出AC的長．
解答：解：（1）解法1：AG=GD…（1分）
∵BE平分∠B，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BG⊥AD，BG=BG，
∴∠BGA=∠BGD，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=GD，AB=BD；…（2分）
解法2：AG=GD．
∵BE平分∠B，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BG⊥AD，BG=BG，
∴∠BGA=∠BGD，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=GD…（2分）

（2）解法1：如圖一，延長BA到F，使AF=BA，則△BFC是等腰三角形…（4分）
∵AD是BC的中線，
∴AD是△BFC的一條中位線，
延長BE交CF于H點，則BH垂直平分FC，
∴E是△BFC的重心，…（5分）
∴AE=EC，EH=BE=×4=2，
∵HC=FC=AD=4，
∴在Rt△BHC中，BC==2…（6分）
AB=BD=BC=…（7分）
∵在Rt△EHC中，EC===2，
∴AC=AE+EC=3．
解法2：如圖二，從點C作CH∥AD與BE的延長線交于H…（3分）
∵GD∥HC，
∴△BGD∽△BHC
∴===，
∴D是BC的中點，G是AD的中點，也是BH的中點
∵GD=2
∴HC=4，BG=GH
設BG=x，則GE=4-x，EH=2x-4
∵AG∥HC
∴△AGE∽△CHE
∴==，即=，
解出x=3…（5分）
∴在Rt△BHC中，BC===2…（6分）
AB=BD=BC=，…（7分）
∵GE=1，EH=2，
∴在Rt△AGE中，AE===，
∵EC=2AE=
∴AC=3．…（8分）
點評：本題考查的是三角形重心的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及相似三角形的判定與性質，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出等腰三角形是解答此題的關鍵．