Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線交y軸于點A，交x軸于點B，以線段AB為邊作菱形ABCD（點C、D在第一象限），且點D的縱坐標為9．

（1）求點A、點B的坐標；

（2）求直線DC的解析式；

（3）除點C外，在平面直角坐標系xOy中是否還存在點P，使點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A（0，4）；點B（，0）．（2）直線DC的解析式為．（3）點P的坐標為（，﹣5）或（﹣，13）．

【解析】（1）分別令一次函數中x=0、y=0，求出與之對應的y、x的值，由此即可得出點A、B的坐標；

（2）過點D作DE⊥y軸，垂足為E，由點D的縱坐標為9即可得出AE的長，根據菱形的性質得出AB=AD，結合勾股定理即可求出點D的坐標，由DC∥AB可設直線DC的解析式為，代入點D的坐標求出b值即可得出結論；

（3）假設存在，點C時以BD為對角線找出的點，再分別以AB、AD為對角線，根據平行四邊形的性質（對角線互相平分）結合點A、B、D的坐標即可得出點P的坐標．

解：（1）令中x=0，則y=4，

∴點A（0，4）；

令中y=0，則﹣x+4=0，解得：x=2，

∴點B（2，0）．

（2）過點D作DE⊥y軸，垂足為E，如圖1所示．

∵點D的縱坐標為9，OA=4，

∴AE=5．

∵四邊形是ABCD是菱形，

∴AD=AB=，

∴DE==，

∴D（，9）．

∵四邊形是ABCD是菱形，

∴DC∥AB，

∴設直線DC的解析式為，

∵直線DC過點D（，9），

∴b=11，

∴直線DC的解析式為．

（3）假設存在．

以點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形還有兩種情況（如圖2）：

①以AB為對角線時，

∵A（0，4），B（2，0），D（，9），

∴點P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；

②以AD為對角線時，

∵A（0，4），B（2，0），D（，9），

∴點P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．

故除點C外，在平面直角坐標系xOy中還存在點P，使點A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形，點P的坐標為（，﹣5）或（﹣，13）．

“點睛”本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、菱形的性質、勾股定理以及待定系數法求函數解析，解題的關鍵是：（1）分別代入x=0，y=0，求出與之對應的y、x的值；（2）求出點D的坐標；（3）分別以AB、AD為對角線求出點P的坐標.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據平行四邊形的性質（對角線互相平分），結合三個頂點的坐標求出另一頂點坐標是關鍵.