Question

如圖，P是射線y=

3

5

x（x＞0）上的一動點，以P為圓心的圓與y軸相切于C點，與x軸的正半軸交于A、B兩點．
（1）若⊙P的半徑為5，則P點坐標是

 

；A點坐標是

 

；以P為頂點，且經過A點的拋物線的解析式是

 

；
（2）在（1）的條件下，上述拋物線是否經過點C關于原點的對稱點D，請說明理由；
（3）試問：是否存在這樣的直線l，當P在運動過程中，經過A、B、C三點的拋物線的頂點都在直線l上？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如果圓的半徑為5，那么P點的橫坐標為5，可根據直線O的解析式求出P點的橫坐標，連接PA，過P作PQ⊥BA于M，那么PQ=OC，由此在直角三角形OPQ中，根據圓的半徑和P點的縱坐標求出AM的長，即可求出A點的坐標，然后用頂點式二次函數通式設拋物線的解析式來設拋物線的，然后將A點坐標代入其中即可求出拋物線的解析式．
（2）由題意可知：D點必在y軸上，因此可根據（1）的拋物線的解析式求出其與y軸的交點，即可判斷出D點是否在拋物線上．
（3）可仿照（1）的解題過程進行求解．可先根據直線OP的解析式設出P點的坐標，然后用P點的橫坐標仿照（1）的方法求出A，B兩點的坐標，然后用待定系數法求出過A，B，C三點的拋物線的解析式，求出其頂點坐標，根據這個頂點坐標即可得出所求的直線解析式．

解答：解：（1）P（5，3）；
A（1，0）；
y=-

3

16

（x-5）²+3．

（2）C點關于原點的對稱點D的坐標為（0，-3），
∵拋物線y=-

3

16

(x-5)2+3與y軸的交點（0，-

27

16

），
∴D點不在拋物線y=-

3

16

（x-5）²+3上．

（3）設P（m，n），m＞0，則n=

3

5

m，
過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，則AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=

3

5

m，
∴AQ=

4

5

m，
∴A（

1

5

m，0)，B（

9

5

m，0），C（0，

3

5

m），
設經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=a（x-

1

5

m）（x-

9

5

m），
將C（0，

3m

5

）代入解析式，
得a=

5

3m

，
∴y=

5

3m

（x-

1

5

m）（x-

9

5

m）
=

5

3m

（x²-2mx+

9

25

m²）
=

5

3m

[（x-m）²-

16

15

m²]
∴y=

5

3m

（x-m）²-

16

15

m
∴拋物線的頂點坐標為（m，-

16

15

m）
∴存在直線l：y=-

16

15

x，
當P在射線y=

3

5

x上運動時，過A，B，C三點的拋物線的頂點都在直線上．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、垂徑定理、切線的性質等知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．