Question

【題目】如圖，點B(3，3)在雙曲線y=(x>0)上，點D在雙曲線(x<0)上，點A和點C分別在x軸，y軸的正半軸上，DM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，且點A、 B、 C、D構成的四邊形為正方形．

（1）k的值為___；

（2）求證：△ADM≌△BAN；

（3）求點A的坐標．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）證明見解析；（3）A（1，0）；

【解析】

（1）把點B（3，3）代入雙曲線y=（x＞0），求出k的值即可；

（2）由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質得到AD=AB，且∠DAB為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用AAS即可得證；

（3）由△ADM≌△BAN得到DM=AN，AM=BN，根據B的坐標得到ON=BN=3，設A（a，0），即OA=a，由ON﹣OA表示出AN，即為DM，為D的縱坐標，代入反比例解析式表示出橫坐標，確定出OM，由OM+OA表示出AM，根據AM=BN=3求出a的值，即可確定出A坐標．

（1）∵點B（3，3）在雙曲線y=（x＞0）上，∴k=3×3=9．

故答案為：9；

（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB，∴∠DAM+∠BAN=90°．

∵∠MDA+∠DAM=90°，∴∠MDA=∠BAN．

在△ADM和△BAN中，∵，∴△ADM≌△BAN（AAS）；

（3）∵△ADM≌△BAN，∴AN=DM，BN=AM，設A（a，0），即OA=a．

∵B（3，3），∴BN=ON=3，∴DM=AN=ON﹣OA=3﹣a，把y=3﹣a代入y=﹣，得：x=﹣，即OM=，∴BN=AM=OM+OA=+a=3，解得：a=1或a=5（不合題意，舍去），∴A（1，0）．