Question

（2007•牡丹江）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-3，6），點B，點C分別在x軸的負半軸和正半軸上，OB，OC的長分別是方程x²-4x+3=0的兩根（OB＜OC）．
（1）求B，C兩點的坐標；
（2）在坐標平面內是否存在點Q和點P（點P在直線AC上），使以O、P、C、Q為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若平面內有M（1，-2），D為線段OC上一點，且滿足∠DMC=∠BAC，∠MCD=45°，求直線AD的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程x²-4x+3=0就可以求出x的值，即B，C的橫坐標，就可以得到B，C的坐標．
（2）以O、P、C、Q為頂點的四邊形是正方形，O、C的坐標已知，就可以寫出Q的坐標．
（3）過A作AH⊥x軸于H點，可以證出△CAB∽△CMD，得到，
在直角△AHC中，根據勾股定理得出AC，就可以求出OD的長．
根據待定系數法就可以求出函數解析式．
解答：解：（1）x²-4x+3=0，得x=3或1，
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）；

（2）存在．
Q₁（3，3）或；

（3）過A作AH⊥x軸于H點．
則AH=CH=6，∴∠ACB=45°，
同理可證：∠DCM=45°，
∴∠ACB=∠DCM．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴（1分）
在△AHC中，，
同理，（1分）
∴，
∴，
∴，．  （1分）
設AD的解析式為y=kx+b（k≠0），則，
∴，
∴y=-x+．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式．運用了相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出．