Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²﹣14x+48=0的兩個實數根．

（1）求C點坐標；
（2）求直線MN的解析式；
（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

（1）C（0，6）；（2）y=-x+6;（3）P₁（4，3），P₂(-，)，P₃(，)，P₄（，-）.

解析試題分析：
（1）通過解方程x²﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）；
（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點A、C的坐標分別代入解析式，列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點P的坐標．根據等腰三角形的性質、兩點間的距離公式以及一次函數圖象上點的坐標特征進行解答．
試題解析：
（1）解方程x²-14x+48=0得
x₁=6，x₂=8
∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個實數根
∴OC=6，OA=8
∴C（0，6）
（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）
由（1）知，OA=8，則A（8，0）
∵點A、C都在直線MN上
∴
解得，
∴直線MN的解析式為y=-x+6
（3）

∵A（8，0），C（0，6）
∴根據題意知B（8，6）
∵點P在直線MN y=-x+6上
∴設P（a，--a+6）
當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：
①當PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P₁（4，3）；
②當PC=BC時，a²+（-a+6-6）²=64
解得，a=±，則P₂（-，），P₃（，）
③當PB=BC時，（a-8）²+（-a+6-6）²=64
解得，a=，則-a+6=-
∴P₄（，）
綜上所述，符合條件的點P有：P₁（4，3），P₂(-，)，P₃(，)，P₄（，-）
考點：一次函數綜合題．