Question

【題目】如圖所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一點，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一點，PE⊥BD于點E，PE⊥AC于點F，下列結論：
①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2 ．
其中結論正確的序號是（ ）

A.只有①②③
B.只有①③④
C.只有②④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：在△BCD中，∠ADB=∠C+∠DBC，
∵∠ADB=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴DC=DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正確；
無法說明∠C=30°，故②錯誤；
連接PD，則S△BCD= BDPE+ DCPF= DCAB，
∴PE+PF=AB，故③正確；
過點B作BG∥AC交FP的延長線于G，
則∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，
∴∠PBG=∠DBC，四邊形ABGF是矩形，
∴AF=BG，
在△BPE和△BPG中，
，
∴△BPE≌△BPG（AAS），
∴BG=BE，
∴AF=BE，
在Rt△PBE中，PE2+BE2=BP2 ，
即PE2+AF2=BP2 ， 故④正確．
綜上所述，正確的結論有①③④．
故選B．

【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．