Question

【題目】如圖，是的直徑，點，是上兩點，且，連接，，過點作交延長線于點，垂足為．

（1）求證：是的切線；

（2）若，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圓O 的半徑為8

【解析】

（1）連結OC，由根據圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；

（2）連結BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得 AB=2BC=8，從而求出⊙O的半徑．

解：（1）證明：連結OC，如圖

∵弧FC=弧BC

∴∠FAC=∠BAC,

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，∴0C // AF，

∵CD⊥AF，∴0C⊥CD，

∴CD是圓O的切線；

（2）連結BC，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，∵，

∴∠BOC= ×180°=60°，∴∠BAC=30，

∴∠DAC=30，在RtΔADC中，CD=，

∴AC=2CD=，在RtΔACB中,BC=AC==8,

∴AB=2BC=16,∴圓O 的半徑為8．