Question

【題目】在平面直角坐標系中（如圖），已知拋物線經過點，與軸交于點，，拋物線的頂點為點，對稱軸與軸交于點.

（1）求拋物線的表達式及點的坐標；

（2）點是軸正半軸上的一點，如果，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，點是位于軸左側拋物線上的一點，如果是以為直角邊的直角三角形，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或

【解析】

（1）將點A、B 代入拋物線，即可求出拋物線解析式，再化為頂點式即可；
（2）如圖1，連接AB，交對稱軸于點N，則N（-，-2），利用相等角的正切值相等即可求出EH的長，OE的長，可寫出點E的坐標；
（3）分∠EAP=90°和∠AEP=90°兩種情況討論，通過相似的性質，用含t的代數式表示出點P的坐標，可分別求出點P的坐標．

解：（1）（1）將點A（-3，-2）、B （0，-2）代入拋物線，
得，，
解得，a=，c=-2，
∴y=x2+4x-2
=（x+）2-5，
∴拋物線解析式為y=x2+4x-2，頂點C的坐標為（-，-5）；

（2）如圖1，連接AB，交對稱軸于點N，則N（-，-2），

，則，

過作，，

則，

∵OH=3,

∴OE=1,

∴

（3）①如圖2，當∠EAP=90°時，
∵∠HEA+∠HAE=90，∠HAE+∠MAP=90°，

∴∠HEA=∠MAP，
又∠AHE=∠PMA=90°，

，

則，設，則

將代入

得（舍），，

∴

②如圖3，當∠AEP=90°時，

∵∠EAG+∠AEG=90°，∠AEG+∠PEN=90°，

∴∠AEG=∠EPN，
又∵∠N=∠G=90°，

∴，則

設，則

將代入

得，（舍），

∴

綜上所述：，