Question

如圖1，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC對折，使點B與點O重合，點C移到點F位置，折痕為DE．
（1）求OD的長；
（2）連接BE，四邊形OEBD是什么特殊四邊形？請運用所學知識進行說明；
（3）以O點為坐標原點，OC、OA 所在的直線分別為x軸、y軸（如圖2），求直線EF的函數表達式．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質得到OD=DB，設OD=x，則DB=x，AD=8-x，利用勾股定理得到x²=（8-x）²+4²，解方程即可得到x；
（2）根據折疊的性質得到∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，而∠3=∠1，得∠2=∠3，則OD=OE，即可得到四邊形OEBD的四邊都相等，根據菱形的定義即可判斷；
（3）過F作FG⊥x軸于G，根據折疊的性質得OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，可得E點坐標，利用等積法科求出GF，再利用勾股定理可求得OG，即得到F點坐標，然后根據待定系數法可求得直線EF的函數表達式．

解答：解：（1）如圖1，
∵矩形OABC對折，使點B與點O重合，點C移到點F位置，
∴OD=DB，
設OD=x，則DB=x，AD=8-x，
在Rt△AOD中，OA=4，
∴OD²=AD²+OA²，即x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
所以OD的長為5；

（2）四邊形OEBD是菱形．理由如下：
∵矩形OABC對折，使點B與點O重合，點C移到點F位置，
∴∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD=OE，
∴OD=DB=BE=OE，
∴四邊形OEBD是菱形；

（3）過F作FG⊥x軸于G，如圖2，
∵矩形OABC對折，使點B與點O重合，點C移到點F位置，
∴OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，
∴E點坐標為（5，0）；
∵

1

2

OE•GF=

1

2

OF•EF，
∴GF=

3×4

5

=

12

5

，
在Rt△OFG中，OG=

OF2-GF2

=

4 2-( 12 5 )2

=

16

5

，
∴F點坐標為（

16

5

，-

12

5

），
設直線EF的解析式為y=kx+b，
把E（5，0）和F（

16

5

，-

12

5

）代入得，5k+b=0，

16

5

k+b=-

12

5

，解得k=

4

3

，b=-

20

3

，
∴直線EF的函數表達式為y=

4

3

x-

20

3

．

點評：本題考查了利用待定系數法一次函數的解析式：先確定兩個點的坐標，然后代入y=kx+b中，得到方程組，解方程組即可．也考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等；還考查了矩形的性質、菱形的定義以及勾股定理．