Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于點F，連接BF并延長交AC于點E，∠BAD＝∠FCD．求證：

（1）△ABD≌△CFD；

（2）BE⊥AC．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) 證明見解析.

【解析】

試題（1）由垂直的性質推出∠ADC=∠FDB=90°，再由∠ACB=45°，推出∠ACB=∠DAC=45°，即可求得AD=CD，根據全等三角形的判定定理“ASA”，即可推出結論;（2）由（1）的結論推出BD=DF，根據AD⊥BC，即可推出∠DBF=∠DFB=45°，再由∠ACB=45°，通過三角形內角和定理即可推出∠BEC=90°，即BE⊥AC．

試題解析：（1）∵AD⊥BC,

∴∠ADC=∠ADB=90°,

又∵∠ACB=45°,

∴∠DAC=45°,

∴∠ACB=∠DAC,

∴AD=CD,

在△ABD和△CFD中,∠BAD=∠FCD, AD=CD∠ADB=∠FDC,

∴△ABD≌△CFD;

(2)∵△ABD≌△CFD,

∴BD=FD,

∴∠1=∠2,

又∵∠FDB=90°,

∴∠1=∠2=45°,

又∵∠ACD=45°,

∴△BEC中，∠BEC=90°,

∴BE⊥AC.