Question

探索一個問題：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半”（完成下列空格）
（1）當已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：

x+y= 7 2 xy=3

，消去y化簡得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48＞0，∴x₁=

 

，x₂=

 

．∴滿足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？
（4）如圖，在同一平面直角坐標系中畫出了一次函數和反比例函數的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結合剛才的研究，回答下列問題：
①這個圖象所研究的矩形A的兩邊長為

 

和

 

；
②滿足條件的矩形B的兩邊長為

 

和

 

．

Answer 1

分析：（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；
（2）設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組，消去y化簡再根據方程的判別式解答即可；
（3）同（2）；
（4）由圖可知，一次函數解析式為y=-x+4.5，反比例函數解析式為y=

4

x

，組成方程組，消去y求出方程的根，再根據一元二次方程根與系數的關系求出m，n的值即可．同理可求出滿足條件的矩形B的兩邊長．

解答：解：（1）解此方程得．x₁=2和x₂=

3

2

；

（2）設所求矩形的兩邊分別是x和y，
由題意得方程組

x+y= 3 2 xy=1

，
消去y化簡得：2x²-3x+2=0，
∵△=9-16＜0，
∴不存在矩形B．

（3）滿足（m+n）²-8mn≥0時，矩形B存在．
由題意得方程組

x+y= m+n 2 xy= mn 2

，
消去y化簡得：2x²-（m+n）x+mn=0，
∴△=（m+n）²-8mn≥0．

（4）①1和8．
由圖可知，一次函數解析式為y=-x+4.5，
反比例函數解析式為y=

4

x

，
組成方程組得到

y=-x+4.5 y= 4 x

，
整理得x²-4.5x+4=0，
∴x₁+x₂=4.5，
x₁x₂=4，
于是

m+n=9 mn=8

，
得

m=8 n=1

或

m=1 n=8

，
②

9+ 17

4

和

9- 17

4

．
由題意知

x+y=4.5 xy=4

，
解得

x= 9+ 17 4 y= 9- 17 4

，或

x= 9- 17 4 y= 9+ 17 4

．

點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系及根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根；
（4）若一元二次方程有實數根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．