Question

在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C為（-1，0）．如圖所示，B點在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2圖象上，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點橫坐標為-3．
（1）求證：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直線的函數關系式；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據題意推出∠BCD=∠COA，然后BC=AC，根據全等三角形的判定定理“AAS”定理，即可判定△BDC≌△COA；
（2）首先（1）所得的結論，即可推出OC=BD=1，即可得B點的縱坐標，設出直線的函數關系式，把B，C兩點的坐標代入，求出k、b，即可推出結論；
（3）首先根據二次函數表達式，求出拋物線的對稱軸，然后分情況進行分析①以AC為直角邊，A點為直角頂點，根據題意推出P₁點為BC與拋物線的對稱軸的交點，根據直線BC的解析式和拋物線的解析式，即可推出P₁點的坐標，②以AC為直角邊，C點為直角頂點，做AP₂⊥AC，設與拋物線的對稱軸交于P₂點，確定點P₂的位置，由OA=CD，即可推出A點的坐標，根據AP₂∥BC，即可推出直線AP₂的解析式，結合拋物線對稱軸的解析式，即可推出P₂的坐標．

解答：（1）證明：∵AC⊥BC，BD⊥CD，
∴∠BDC=∠COA=90°，∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=AC，
∵在△BDC和△COA中

∠BDC=∠COA=90° ∠BCD=∠OAC BC=AC

∴△BDC≌△COA（AAS），

（2）解：∵△BDC≌△COA，
∴BD=CO，
∵C點的坐標為（-1，0），
∴BD=OC=1，
∴B點的縱坐標為1，
∵B點的橫坐標為-3，
∴B點的坐標為（-3，1），
設BC所在直線的函數關系式為y=kx+b，
∴

-k+b=0 -3k+b=1

，
∴解方程組得

k=- 1 2 b=- 1 2

，
∴直線BC所在直線的解析式為：y=-

1

2

x-

1

2

，

（3）解：存在，
∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2
=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

，
∴二次函數的對稱軸為x=-

1

2

，
①若以AC為直角邊，C點為直角頂點，做CP₁⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴P₁點為直線BC與對稱軸直線x=-

1

2

的交點，
∵直線BC所在直線的解析式為：y=-

1

2

x-

1

2

，
∴

y=- 1 2 x- 1 2 x=- 1 2

，
∴解得

x=- 1 2 y=- 1 4

，
∴P₁點的坐標為（-

1

2

，-

1

4

）；
②若以AC為直角邊，A點為直角頂點，對稱軸上有一點P₂，使AP₂⊥AC，
∴過點A作AP₂∥BC，交對稱軸直線x=-

1

2

于點P₂，
∵OD=3，OC=1，
∴OA=CD=2，
∴A點的坐標為（0，2），
∴直線AP₂的解析式為y=-

1

2

x+2，
∴

y=- 1 2 x+2 x=- 1 2

，
∴解得：

x=- 1 2 y= 9 4

，
∴P₂點的坐標為（-

1

2

，

9

4

），
∴P點的坐標為P₁（-

1

2

，-

1

4

）、P₂（-

1

2

，

9

4

）．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質，待定系數法求出拋物線的解析式，根據解析式求點的坐標，關鍵在于（1）推出∠BCD=∠OAC，（2）根據（1）的結論，推出B點的坐標，（3）注意分情況討論，①若以AC為直角邊，C點為直角頂點，推出P₁點為直線BC與對稱軸直線x=-

1

2

的交點，②若以AC為直角邊，A點為直角頂點，由A點的坐標，求出直線AP₂的解析式．