Question

如圖，AB是O的直徑，AE交O于點E，且與O的切線CD互相垂直，垂足

為D。

（1）求證：∠EAC＝∠CAB；

（2）若CD＝4，AD＝8：

①求O的半徑；

②求tan∠BAE的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）①5，②

【解析】（1）證明：連接OC。 

∵CD是⊙O的切線，∴CD⊥OC。

又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。∴∠1＝∠3。

∵OC＝OA，∴∠2＝∠3。

∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。

（2）解：①連接BC。

∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AE于點D，

∴∠ACB＝∠ADC＝90°。

∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。∴。

∵AC²＝AD²＋CD²＝4²＋8²＝80，

∴AB＝＝10。

∴⊙O的半徑為10÷2＝5。

②連接CF與BF。

∵四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形，

∴∠ABC＋∠AFC＝180°。

∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。

∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°，

∴∠2＝∠DCF。

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。

∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。∴ 。∴DF＝＝2。

∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。

∵AB是⊙O的直徑，∴∠BFA＝90°。

∴BF＝＝8。∴tan∠BAD＝。    

（1）連接OC，由CD是⊙O的切線，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根據平行線的性質與等腰三角形的性質，即可證得∠EAC=∠CAB。

（2）①連接BC，易證得△ACD∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AB的長，

從而可得⊙O的半徑長。

 ②連接CF與BF．由四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形，易證得△DCF∽△DAC，然后根據

相似三角形的對應邊成比例，求得AF的長，又由AB是⊙O的直徑，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的長，即可求得tan∠BAE的值。