Question

【題目】若拋物線與x軸的兩個交點及其頂點構成等邊三角形，則稱該拋物線為“等邊拋物線”．

（1）判斷拋物線C1：y＝x2﹣2x是否為“等邊拋物線”？如果是，求出它的對稱軸和頂點坐標；如果不是，說明理由．

（2）若拋物線C2：y＝ax2+2x+c為“等邊拋物線”，求ac的值；

（3）對于“等邊拋物線”C3：y＝x2+bx+c，當1＜x＜m時，二次函數C3的圖象落在一次函數y＝x圖象的下方，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線y＝x2﹣2x是“等邊拋物線”；對稱軸x＝2，頂點坐標為（2，﹣2）；（2）ac＝﹣2；（3）m的最大值為6．

【解析】

（1）根據“等邊拋物線”的定義得到拋物線C1：y＝x2﹣2x是“等邊拋物線”；然后根據拋物線的性質求得它的對稱軸和頂點坐標；

（2）設等邊拋物線與x軸的兩個交點分別為A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||，結合頂點坐標（﹣，）知＝，據此求解可得；

（3）依照（2）的方法推出b2﹣4ac＝12知c＝，結合等邊拋物線過（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依據對稱軸位置得b＝﹣6，聯立，求得x＝1或x＝6，從而得出答案．

（1）拋物線y＝x2﹣2x是“等邊拋物線”．對稱軸x＝2，頂點坐標為（2，﹣2）．理由如下：

由y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）知，該拋物線與x軸的交點是（0，0），（4，0）．

又因為y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，

所以其頂點坐標是（2，﹣2）．

∴拋物線與x軸的兩個交點及其頂點構成等邊三角形的邊長為4，

∴拋物線y＝x2﹣2x是“等邊拋物線”．

對稱軸x＝2，頂點坐標為（2，﹣2）；

（2）設等邊拋物線與x軸的兩個交點分別為A（x1，0），B（x2，0），

令y＝ax2+bx+c＝0，

∴x＝，

∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||＝||．

又∵拋物線的頂點坐標為（﹣，），

∴＝．

∵4﹣4ac≠0，

∴||＝，

∴ac/span>＝﹣2；

（3）設等邊拋物線與x軸的兩個交點分別為A（x1，0），B（x2，0），

令y＝ax2+bx+c＝0，

∴x＝，

∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|=

又∵拋物線的頂點坐標為，

∴.

∵，

∴，

得b2﹣4c＝12，

∴c＝，

∴C3：y＝x2+bx+，

∵1＜x＜m時，總存在實數b，使二次函數C3的圖象在一次函數y＝x圖象的下方，即拋物線與直線有一個交點為（1，1），

∴該等邊拋物線過（1，1），

∴1+b+＝1，

解得b＝﹣6或b＝2，

又對稱軸x＝﹣＝﹣＞1，

∴b＜﹣2，

∴b＝﹣6，

∴y＝x2﹣6x+6，

聯立，

解得x＝1或x＝6，

∴m的最大值為6．