Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點（A在B的左側），且OA=3，OB=1，與y軸交于C（0，3），拋物線的頂點坐標為D（﹣1，4）．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）過點D作直線DE∥y軸，交x軸于點E，點P是拋物線上B、D兩點間的一個動點（點P不與B、D兩點重合），PA、PB與直線DE分別交于點F、G，當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A點坐標（﹣3，0），B點坐標（1，0）；（2）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由見解析.

【解析】（1）根據OA，OB的長，可得答案；

（2）根據待定系數法，可得函數解析式；

（3）根據相似三角形的判定與性質，可得EG，EF的長，根據整式的加減，可得答案．

（1）由拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點（A在B的左側），且OA=3，OB=1，得

A點坐標（﹣3，0），B點坐標（1，0）；

（2）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），

把C點坐標代入函數解析式，得

a（0+3）（0﹣1）=3，

解得a=﹣1，

拋物線的解析式為y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：

過點P作PQ∥y軸交x軸于Q，如圖，

設P（t，﹣t2﹣2t+3），

則PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，

∵PQ∥EF，

∴△AEF∽△AQP，

∴，

∴EF==；

又∵PQ∥EG，

∴△BEG∽△BQP，

∴，

∴EG===2（t+3），

∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．