Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過O點的射線OM，ON分別交AB，BC于點E，F，且∠EOF=90°，BO，EF交于點P，則下面結論：

①圖形中全等的三角形只有三對；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；④BE＋BF=OA．

其中正確結論的個數是(　　)

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由正方形的性質和已知條件得出圖形中全等的三角形有四對，得出①不正確；
由△AOE≌△BOF，得出對應邊相等OE=OF，得出②正確；
由△AOE≌△BOF，得出四邊形OEBF的面積=△ABO的面積=正方形ABCD的面積，③正確；
由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=OA，④正確；

解：①不正確；
圖形中全等的三角形有四對：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，
在△ABC和△ADC中， ，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
∵點O為對角線AC的中點，
∴OA=OC，
在△AOB和△COB中，

，
∴△AOB≌△COB（SSS）；
∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，
∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，

，
∴△AOE≌△BOF（ASA）；
同理：△BOE≌△COF；
②正確；理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；
③正確．理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴四邊形OEBF的面積=△ABO的面積=正方形ABCD的面積；
④正確．理由如下：
∵△BOE≌△COF，
∴BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=OA；

故選：C．