Question

（2003•常州）如圖，直線OC、BC的函數關系式分別為y=x和y=-2x+6，動點P（x，0）在OB上移動（0＜x＜3），過點P作直線l與x軸垂直．
（1）求點C的坐標；
（2）設△OBC中位于直線l左側部分的面積為s，寫出s與x之間的函數關系式；
（3）在直角坐標系中畫出（2）中函數的圖象；
（4）當x為何值時，直線l平分△OBC的面積？

Answer 1

【答案】分析：（1）解兩個函數解析式組成的方程組，就可以求出交點C的坐標．
（2）本題應分兩種情況進行討論，當直線l在C點的左側和右側兩種情況．
（4）根據（3）中的函數解析式，就可以得到方程，解方程就可以解決．
解答：解：（1）解方程組，
消去y得：-2x+6=x，解得x=2，
把x=2代入y=x得：y=2，
所以，
則C點的坐標是（2，2）．

（2）過點C作CD⊥x軸于D，
當0＜x≤2時，設直線l與OC交于點M，
則=，即=，
則PM=x，
則S=OP•PM=x²；
當2＜x＜3時，△ODC的面積是×2×2=2，
∵OP=x，OD=2，則PD=x-2，CD=2，PN=-2x+6，
則梯形PNCD的面積為×（-2x+6+2）×（x-2）=（-x+4）（x-2），
因而函數解析式是s=2+（-x+4）（x-2）=-x²+6x-6；

（4）當0＜x≤2時，解方程x²=，解得x=，
當2＜x＜3時，（3-x）²=，
解得x=（舍去），x=（舍去）．
總之，當x=時，直線l平分△OBC的面積．
點評：本題是函數與三角形相結合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經常出現的問題．