Question

如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別相交于點A和點B，二次函數的圖象經過A、B兩點．
（1）求這個一次函數的解析式；
（2）求二次函數的解析式；
（3）如果點C在這個二次函數的圖象上，且點C的橫坐標為5，求tan∠CAB的值．

Answer 1

解：（1）由題意，得點B的坐標為（0，6）；
∴m=6；
∴一次函數的解析式為；

（2）由題意，得點A的坐標為（8，0）；
∴，
∴；
∴二次函數的解析式為；

（3）∵點C在這個二次函數的圖象上，且點C的橫坐標為5，
∴；
∴點C的坐標為（5，6）；
作CH⊥AB，垂足為點H；
∵點B與點C的縱坐標相等，
∴BC∥x軸；
∴∠CBH=∠BAO；
又∵∠CHB=∠BOA=90°，
∴△CHB∽△BOA，
∴；
∵OB=6，OA=8，
∴AB=10；
∴；
∴CH=3，BH=4，AH=6；
∴．
分析：（1）根據拋物線的解析式可求出B點的坐標，根據B點的坐標即可確定一次函數的解析式；
（2）根據（1）題所得一次函數的解析式，可求出A點的坐標，將其代入拋物線的解析式中，即可求出該二次函數的解析式；
（3）欲求∠CAB的正切值，需將其構建到直角三角形中求解；過C作CH⊥AB于H，在Rt△AHC中，∠CAB的正切值等于CH、AH的比，那么關鍵是求出CH、AH的長；根據拋物線的解析式，可求出A、C的坐標，即可得到AB、BC、OA的長；易證得△CBH∽△BAO，根據相似三角形得到的比例線段，即可求出CH、BH的長，進而可求出AH的長，由此得解．
點評：此題考查了函數圖象上點的坐標意義，一次函數、二次函數解析式的確定，相似三角形的判定和性質以及銳角三角函數的定義等知識，綜合性較強，難度適中．