Question

【題目】如圖，點C為△ABD外接圓上的一動點（點C不在上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．

（1）求證：BD是該外接圓的直徑；

（2）連結CD，求證： AC=BC+CD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）利用條件易得∠ABD＝∠ADB＝45°，所以可知∠BAD＝90°，∴△ABD為等腰直角三角形.

(2) 如圖所示作CA⊥AE，延長CB交AE于點E，∠ACB＝45°，CA⊥AE，△ACE為等腰直角三角形， AC=BC+EB,再證明△ABE和△ADC，EB=CD, AC=BC+CD.

試題解析：

（1）∵弧AB＝弧AB， ∴∠ADB＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，

∴∠BAD＝90°，

∴△ABD為等腰直角三角形，

∴BD是該外接圓的直徑.

（2）如圖所示作CA⊥AE，延長CB交AE于點E

∵∠ACB＝45°，CA⊥AE，∴△ACE為等腰直角三角形，

∴AC＝AE，由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2，

∴，由（1）可知△ABD 為等腰直角三角形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，又∵∠EAC＝90°，

∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，

∴∠EAB＝∠DAC，

∴在△ABE和△ADC中，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴BE＝DC，

∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝．