Question

定義：若某個圖形可分割為若干個都與他相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形.

探究：（1）如圖甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由.

（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結三角形各邊中點，則可將原三分割為四個都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF(圖乙)第一次順次連結各邊中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連結它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖2）……依次規則操作下去．n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數），設此時小三角形的面積為S_n．

①若△DEF的面積為1000，當n為何值時，3<S_n<4?

（請用計算器進行探索，要求至少寫出二次的嘗試估算過程）

②當n>1時，請寫出一個反映S_n-1,S_n,S_n+1之間關系的等式（不必證明）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）正確畫出分割線CD

（如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線，若畫成直線不扣分）        

理由：∵ ∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°

∴△BCD ∽△ACB                 

（2）① △DEF 經N階分割所得的小三角形的個數為 

 ∴ 

當 n =3時,S₃ =  ≈15.62                      

當 n = 4時， S₄ =   ≈3.91        

∴當 n= 4時,3 ＜S₄ ＜ 4

②       

【解析】（1）過點C作CD⊥AB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線

（2）根據題目找出△DEF 經N階分割所得的小三角形的個數為規律即可

（3）根據（2）中，利用冪的運算計算易得出