Question

【題目】如圖，在矩形中， ， ，為的中點，若為邊上的兩個動點，且，若想使得四邊形的周長最小，則的長度應為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，證即可．

解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．
∵E為CD的中點，∴CE=2

∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，
∵BC//GH

∴,
∴,

∴，
∴CQ=，

∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．
故答案為：．