Question

已知△ABC內接于以AB為直徑的⊙O，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點D，且DA：AB=1：2．


（1）求∠CDB的度數；
（2）在切線DC上截取CE=CD，連接EB，判斷直線EB與⊙O的位置關系，并證明；
（3）利用圖中已標明的字母，連接線段，找出至少5對相似三角形（不包含全等，不需要證明）．（多寫者給附加分，附加分不超過3分，計入總分，但總分不超過120分．）

Answer 1

（1）如圖，連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°．
設⊙O的半徑為R，則AB=2R，
∵DA：AB=1：2，
∴DA=R，DO=2R．
在Rt△DOC中，sin∠CDO=

OC

OD

=

1

2

．
∴∠CDO=30°，即∠CDB=30°．

（2）直線EB與⊙O相切．
證明：連接OC，
由（1）可知∠CDO=30°，
∴∠COD=60°．
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∴∠CBD=∠CDB．
∴CD=CB．
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°．
∴∠ECB=60°．
又∵CD=CE，
∴CB=CE．
∴△CBE為等邊三角形．
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°．
∴EB是⊙O的切線．

（3）如圖，連接OE，
相似三角形有△CDO與△BDE，△CEO與△BDE，△BEO與△BDE，△CBA與△BDE，△OAC與△BCE，△DAC與△DCB與△DOE，△BOC與△DCB與△DOE．