Question

如圖，二次函數的圖象經過△AOB的三個頂點，其中A（-1，m），B（n，n）
（1）求A、B的坐標；
（2）在坐標平面上找點C，使以A、O、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形．
①這樣的點C有幾個？
②能否將拋物線平移后經過A、C兩點？若能，求出平移后經過A、C兩點的一條拋物線的解析式；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A（-1，m）代入函數式而解得m的值，同理解得n值，從而得到A，B的坐標；
（2）①由題意可知：這樣的C點有3個，
②能，分別考慮函數圖象經過三個點，從而得到函數方程．
解答：解：（1）∵y=的圖象過點A（-1，m）
∴
即m=1
同理：n=
解之，得n=0（舍）或n=2
∴A（-1，1），B（2，2）

（2）①由題意可知：這樣的C點有3個．
如圖：當OA是對角線時，C是過O平行于AB的直線，以及過A平行于OB的直線的交點，
設直線OB的解析式是y=kx，則2=2k，解得：k=1，
設直線AC的解析式是：y=x+c，則-1+c=1，解得：c=2，直線的解析式是y=x+2，
設直線AB的解析式是：y=mx+n，則，解得：，即直線的解析式是：y=3x+4，
設直線OC的解析式是：y=3x，
解方程組，解得：，
則C的坐標是（-3，-1）；
同理，當AB是對角線時，C的坐標是（1，3）；
OB是對角線時，C的坐標是（3，1）．
故：C₁（-3，-1），C₂（1，3），C₃（3，1）．
②能
當平移后的拋物線經過A、C₁兩個點時，將B點向左平移3個單位再向下平移1個單位．
使點B移到A點，這時A、C₁兩點的拋物線的解析式為y+1=
即y=
附：另兩條平移后拋物線的解析式分別為：
i）經過A、C₂兩點的拋物線的解析式為
ii）設經過A、C₃兩點的拋物線的解析式為，OC₃可看作線段AB向右平移1個單位再向下平移1個單位得到m，
則C₃（3，1）
依題意，得，
解得．
故經過A、C₃兩點的拋物線的解析式為．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，（1）把A（-1，m）代入函數式而解得；（2）①由題意可知點C有幾個，②分別考慮函數圖象經過三個點，從而得到函數方程．也從而確定能．本題有一定難度，在圖象上作好輔助線，考慮全面，而不至于漏解．