Question

【題目】如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45°，連接EF、BF，則下列結論： ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2 ， 其中正確的有（ ）個．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．
在△AED與△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正確；②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°．
∵點D、E為BC邊上的兩點，∠DAE=45°，
∴AD與AE不一定相等，∠AED與∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，
∴∠BAE與∠CAD不一定相等，
∴△ABE與△ACD不一定相似，②錯誤；③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD與△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正確；④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2 ，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2 ， ④正確．
所以正確的結論有①③④．
故選C．

【考點精析】利用勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．