Question

已知一次函數y₁＝2x，二次函數y₂＝x²＋1．

(1)根據表中給出的x的值，計算對應的函數值y₁、y₂，并填在表格中：

(2)觀察第(1)問表中有關的數據，證明如下結論：在實效范圍內，對于x的同一個值，這兩個函數所對應的函數值y₁≤y₂均成立；

(3)試問，是否存在二次函數y₃＝ax²＋bx＋c，其圖像經過點(－5，2)，且在實數范圍內，對于x的同一個值，這三個函數所對應的函數值y₁≤y₃≤y₂均成立，若存在，求出函數y₃的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)填表如下： 　　(2)∵y1－y2＝2x－(x2＋1)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0， 　　∴當自變量x取任意實數時，y1≤y2均成立． 　　(3)由已知，二次函數y3＝ax2＋bx＋c的圖像經過點(－5，2)，得 　　25a－5b＋c＝2．　　① 　　∵當x＝1時，y1＝y2＝2，y3＝a＋b＋c， 　　若對于自變量x取任意實數時，y1≤y3≤y2成立，則 　　2≤a＋b＋c≤2， 　　∴a＋b＋c＝2，　　② 　　由①、②得b＝4a，c＝2－5a， 　　∴y3＝ax2＋4ax＋(2－5a)． 　　當y1≤y3時，有2x≤ax2＋4ax＋(2－5a)， 　　即ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0． 　　若二次函數y＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)對于一切實數x，函數值大于或等于零，必須 　　 　　即　　∴a＝． 　　當y3≤y2時，有ax2＋4ax＋(2－5a)≤x2＋1， 　　即(1－a)x2－4ax＋(5a－1)≥0． 　　若二次函數y＝(1－a)x2－4ax＋(5a－1)對于一切實數x，函數值大于或等于零，必須 　　 　　即∴a＝． 　　綜上：a＝，b＝4a＝，c＝2－5a＝． 　　∴存在二次函數y3＝x2＋x＋，在實數范圍內，對于x的同一個值y1≤y3≤y2均成立．