Question

（2013•深圳）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC與BD交于點O，廷長BC到E，使得CE=AD，連接DE．
（1）求證：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，S_ABCD=16，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四邊形ACED是平行四邊形，即可證得AC=DE，又由等腰梯形的性質，可得AC=BD，即可證得結論；
（2）首先過點D作DF⊥BC于點F，可證得△BDE是等腰直角三角形，由S_ABCD=16，可求得BD的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，CE=AD，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AC=DE，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，
∴BD=DE．

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，

∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴CE=AD=3，AC∥DE，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∵BD=DE，
∴S_△BDE=

1

2

BD•DE=

1

2

BD²=

1

2

BE•DF=

1

2

（BC+CE）•DF=

1

2

（BC+AD）•DF=S_梯形ABCD=16，
∴BD=4

2

，
∴BE=

2

BD=8，
∴DF=BF=EF=

1

2

BE=4，
∴CF=EF-CE=1，
∴AB=CD=

CF2+DF2

=

17

．

點評：此題考查了等腰三角形的性質、等腰直角三角形的性質與判定、平行四邊形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．