Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化過程中，有下列五個結論：
①△DFE是等腰直角三角形；  ②四邊形CDFE不可能為正方形；
③DE長度的最小值為4；     ④四邊形CDFE的面積保持不變；
⑤△CDE面積的最大值為8．其中正確結論是

 

．

Answer 1

分析：解答此題的關鍵是在于判斷△DFE是否等腰直角三角形；做常規輔助線，連接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，從而可證∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正確；②，再由補割法可證④是正確的．判斷③與⑤，①△DFE是等腰直角三角形；可得DE=

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DF，當DF⊥BC時，DF最小，DE取最小值4

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，故③錯誤，△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積，由③可知⑤是正確的，個，故①④⑤正確．

解答：解；連接CF．

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴①正確；
當D、E分別為AC，BC的中點時，四邊形CDEF是正方形，
因此②錯誤；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF，
∴④是正確的；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴當DE最小時，DF也最小，
即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF=

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BC=4，
∴DE=

2

DF=4

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，
∴③錯誤；
當△CDE面積最大時，由④知，此時△DEF的面積最小，此時，
S_△CDE=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，
∴⑤正確．綜上所述正確的有①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點評：此題考查的知識點有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質等知識點，綜合性強，難度較大，是一道難題．