Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數與反比例函數的圖象分別交于，兩點，已知點與點關于坐標原點成中心對稱，且點的坐標為．其中．

（1）四邊形是　　　　　．（填寫四邊形的形狀）

（2）當點的坐標為時，且四邊形是矩形，求，的值．

（3）試探究：隨著與的變化，四邊形能不能成為菱形?若能，請直接寫出的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 平行四邊形；（2）；（3） 四邊形 不可能成為菱形，理由見解析.

【解析】（1）根據正、反比例函數的對稱性即可得出點A、C關于原點O成中心對稱，再結合點B與點D關于坐標原點O成中心對稱，即可得出對角線BD、AC互相平分，由此即可證出四邊形ABCD的是平行四邊形；

（2）由點A的縱坐標結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出n值，進而得出點A的坐標以及OA的長度，再根據矩形的性質即可得出OB=OA，由點B的坐標即可求出m值；

（3）由點A在第一象限內，點B在x軸正半軸上，可得出∠AOB＜90°，而菱形的對角線互相垂直平分，由此即可得知四邊形ABCD不可能成為菱形．

（1）∵正比例函數y=kx（k＞0）與反比例函數y=的圖象分別交于A、C兩點，

∴點A、C關于原點O成中心對稱，

∵點B與點D關于坐標原點O成中心對稱，

∴對角線BD、AC互相平分，

∴四邊形ABCD的是平行四邊形．

故答案為：平行四邊形．

（2）∵點A（n，3）在反比例函數y=的圖象上，

∴3n=3，解得：n=1，

∴點A（1，3），

∴OA=．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，

∴OB=OA=，

∴m=．

（3）四邊形ABCD不可能成為菱形，理由如下：

∵點A在第一象限內，點B在x軸正半軸上，

∴∠AOB＜90°，

∴AC與BD不可能互相垂直，

∴四邊形ABCD不可能成為菱形．