Question

（2009•朝陽區二模）如圖，點A在x軸的負半軸上，OA=4，AB=OB=．將△ABO繞坐標原點O順時針旋轉90°，得到△A₁B₁O，再繼續旋轉90°，得到△A₂B₂O．拋物線y=ax²+bx+3經過B、B₁兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點B₂是否在此拋物線上，請說明理由；
（3）在該拋物線上找一點P，使得△PBB₂是以BB₂為底的等腰三角形，求出所有符合條件的點P的坐標；
（4）在該拋物線上，是否存在兩點M、N，使得原點O是線段MN的中點？若存在，直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先求出B點的坐標，根據旋轉的性質不難得出B1的橫坐標的就是B點的縱坐標，而B₁的縱坐標就是B的橫坐標的絕對值，由此可求出B₁的坐標，同理可求出B2的坐標，然后將這B、B₁點的坐標代入拋物線中，即可求出二次函數的解析式．
（2）根據（1）求出的B2和拋物線的解析式即可判斷出B₂是否在拋物線上．
（3）已知了等腰三角形是以BB₂為底，因此P點必為BB2的垂直平分線與拋物線的交點，可先求出BB₂的垂直平分線的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可求出符合條件的P點的坐標．
（4）由題意可知：M、N關于原點對稱，那么可設兩點的坐標分別為（x，y），（-x，-y），由于兩點都在拋物線上，因此可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，可得出一個關于x、y的方程組，即可求出兩點的坐標．
解答：解：
（1）過點B作BE⊥OA于點E，
∵AB=OB，
∴OE=OA=2．
又OB=，
∴BE==1．
∴B（-2，1）．（1）
∴B₁（1，2），B₂（2，-1）．
∵拋物線y=ax²+bx+3經過B、B₁兩點，
∴．
解得．
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+3．

（2）∵當x=2時，y=-×2²-×2+3=-≠-1，
∴點B₂（2，-1）不在此拋物線上．

（3）點P應在線段BB₂的垂直平分線上，由題意可知，OB₁⊥BB₂且平分BB₂，
∴點P在直線OB₁上．
可求得OB₁所在直線的解析式為y=2x．
又點P是直線y=2x與拋物線y=-x²-x+3的交點，
由．
解得，．
∴符合條件的點P有兩個，P₁（1，2），P₂（-，-9）．

（4）存在．（-，）（，）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、等腰三角形的判定等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生數形結合的數學思想方法．