Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設BQ=x，QR=y．
（1）求點D到BC的距離DH的長；
（2）求y關于x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根據相似三角形的性質求出DH的長；
（2）根據△RQC∽△ABC，根據三角形的相似比求出y關于x的函數關系式；
（3）畫出圖形，根據圖形進行討論：
①當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=

8

10

=

4

5

，∴

QM

QP

=

4

5

，即可求出x的值；
②當PQ=RQ時，-

3

5

x+6=

12

5

，x=6；
③當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點，故CR=

1

2

CE=

1

4

AC=2．由于tanC=

QR

CR

=

BA

CA

，x=

15

2

．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=

AB2+AC2

=10．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴

DH

AC

=

BD

BC

，
∴DH=

BD

BC

•AC=

3

10

×8=

12

5

（3分）

（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴

RQ

AB

=

QC

BC

，∴

y

6

=

10-x

10

，
即y關于x的函數關系式為：y=-

3

5

x+6．（6分）

（3）存在，分三種情況：
①當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=

8

10

=

4

5

，
∴

QM

QP

=

4

5

，
∴

1 2 (- 3 5 x+6)

12 5

=

4

5

，
∴x=

18

5

．
②當PQ=RQ時，-

3

5

x+6=

12

5

，
∴x=6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴點R為EC的中點，
∴CR=

1

2

CE=

1

4

AC=2．
∵tanC=

QR

CR

=

BA

CA

，
∴

- 3 5 x+6

2

=

6

8

，
∴x=

15

2

．
綜上所述，當x為

18

5

或6或

15

2

時，△PQR為等腰三角形． （12分）

點評：本題很復雜，把一次函數與三角形的知識相結合，使題目的綜合性加強，提高了難度，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，用數形結合的方法解答．