Question

【題目】綜合與探究：

如圖1，的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，，，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖2，已知點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①點(diǎn)的縱坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示為________；

②如圖3，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷四邊形的形狀并證明結(jié)論；

③在②的前提下，連接，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形與全等，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（2）①；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為，四邊形為正方形，證明見解析；③點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式；

（2）①設(shè)直線AC的表達(dá)式為，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出直線AC的表達(dá)式，進(jìn)而得解；

②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一得出，結(jié)合①由平行線分線段成比例得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，結(jié)合拋物線的表達(dá)式求出點(diǎn)F；利用勾股定理求出，結(jié)合可得出結(jié)論；

③根據(jù)直線AC的表達(dá)式求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理分別求出，，，，然后分兩種情況考慮：若△FHC≌△FHN，則FN＝FC，NH＝CH，若△FHC≌△HFN，則FN＝CH，NH＝FC，分別列式求解即可．

解：（1），，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，

，，

，

在中，，

，

軸于點(diǎn)，

，

．

，

，

，，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

，

解得，，

∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）①設(shè)直線AC的表達(dá)式為，

∵直線AC經(jīng)過點(diǎn)，，

∴，

解得，，即，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示為：，

故答案為：．

②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，

，，

，

，

，

，

，

，，

點(diǎn)為，

設(shè)直線的表達(dá)式為，將和代入表達(dá)式得，，

，即表達(dá)式為，

點(diǎn)為直線和拋物線的交點(diǎn)，

得，

，（舍去），

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，

，，，，

在中和中，根據(jù)勾股定理，得，

同理可得，

，

四邊形為菱形，

，

菱形為正方形；

③∵直線AC：與x軸交于點(diǎn)H，

∴，

解得，x＝12，

∴，

∴，，

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為，

∴，，

第一種情況：若△FHC≌△FHN，則FN＝FC，NH＝CH，

∴，

解得，，（即點(diǎn)C），

∴；

第二種情況：若△FHC≌△HFN，則FN＝CH，NH＝FC，

∴，

解得，，，

∴或，

綜上所述，以F，H，N為頂點(diǎn)的三角形與△FHC全等時，點(diǎn)N坐標(biāo)為或或．