Question

“相約紅色重慶，共享綠色園博”，位于重慶市北部新區的國際園林博覽會是一個集自然景觀和人文景觀為一體的大型城市生態公園．自2011年11月19日開園以來，某商家在園博園內出售紀念品“山娃”玩偶．十周以來，該紀念品深受游人喜愛，其銷售量不斷增加，銷售量y（件）與周數x（1≤x≤10，且x取整數）之間所滿足的函數關系如下表所示：

周數x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
銷售量y（件）	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200

為回饋顧客，該商家將此紀念品的價格不斷下調，其銷售單價z（元）與周數x（1≤x≤10，且x取整數）之間成一次函數關系，且第一周的銷售單價為68元，第二周的銷售單價為66元．另外，已知該紀念品每件的成本為30元．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出y與x之間的函數關系式；根據題意，直接寫出z與x之間滿足的一次函數關系式；
（2）求前十周哪一周的銷售利潤最大，并求出此最大利潤；
（3）從十一周開始，其他商家陸續入駐園博園，因此該商店的銷售情況不如從前．該紀念品的銷售量比十周下降a%（0＜a＜10），于是該商家將此紀念品的銷售單價在十周的基礎上提高1.4a%．另外，隨著園博園管理措施的逐步完善，該商家需每周交納200元的各種費用．這樣，十一周的銷售利潤恰好與十周持平．請參考以下數據，估算出a的整數值．
（參考數據：22²=484，23²=529，24²=576，25²=625）

Answer 1

分析：（1）根據表格數據可得出y與x的函數關系式；設z=kx+b，將點（1，68），（2，66）代入可得出z與x的函數關系式；
（2）設前十周每周利潤為W，根據W=銷售量×（售價-成本）列出解析式，利用配方法可求最大值；
（3）求出第十周的銷售量，銷售單價，繼而求出第十一周的銷售量，銷售單價，根據題意則可得出第十一周的利潤，又根據十一周的銷售利潤恰好與十周持平列出等式，即可求出a的值．

解答：解：（1）由表格數據可得：y=10x+100（1≤x≤10，且x取整數）；
設z=kx+b，將點（1，68），（2，66）代入可得：

k+b=68 2k+b=66

，
解得：

k=-2 b=70

，
故z=-2x+70（1≤x≤10，且x取整數）；

（2）設前十周內第x周的銷售利潤為W（元），由題意知：W=y（z-30），
代入y，z解析式得：y=（10x+100）（-2x+70-30）=-20x²+200x+4000
=-20（x-5）²+4500，
∵-20＜0，
∴拋物線開口向下，有最大值，
∴當x=5時，W取得最大值4500．
故前十周內第五周的銷售利潤最大，為4500元；
（3）十周的銷售量由表知為200件．
十周的銷售單價=-2×10+70=50（元），
十周的銷售利潤=200×（50-30）=4000（元），
由題意可得：第十一周的銷售量為200（1+-a%），
第十一周的銷售單價為50（1+1.4a%），
∵十一周的銷售利潤恰好與十周持平，
∴根據題意列出方程式：200（1-a%）[50（1+1.4a%）-30]-200=4000，
設t=a%，原方程可整理為：70t²-50t+1=0，
解得t=

25± 555

70

．
∵23²=529，24²=576，而555更接近576，∴t≈

25±24

70

，
∴t₁≈0.7或t₂≈0.014，
∴a₁≈70或a₂≈1．
∵0＜a＜10，
∴a₁≈70舍去，
∴a=1．
∴a的整數值為1．

點評：本題考查了二次函數的應用，難度較大，解答本題的關鍵是讀懂題意列出函數關系式，要求同學們熟練掌握用配方法求二次函數的最值問題．