Question

在某多媒體電子雜志的一期上刊登了“正方形雪花圖案的形成”的演示案例：作一個正方形，設每邊長為a，將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，如此連續作幾次，便可構成一朵絢麗多彩的雪花圖案（如圖（3））．
下列問題．
（1）作一個正方形，設邊長為a（如圖（1））．
（2）對正方形進行第1次分形：將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，得到圖（2）；
（3）重復上述的作法，圖（3）經過第______次分形后得到圖2（3）的圖形；

（4）觀察探究：分形過程中，圖形的周長有什么變化？面積有什么變化？

Answer 1

解：（1）如圖（1）所示：

（2）如圖（2）所示：

（3）2；

（4）周長依次為4a，8a，16a，32a，…，2ⁿ⁺¹a，即無限增加；圖形進行分形時，每增加一個小正方形同時又減少一個相同的小正方形，即面積不變，是一個定值a²．
故答案為2．
分析：（1）根據正方形的判定，作一個邊長為a的正方形；
（2）將上圖中的正方形每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形；
（3）根據正方形雪花圖案的形成過程，觀察圖形，可知對正方形每進行1次分形，周長增加1倍，由圖2（3）的圖形，得出經過第2次分形后即可得到；
（4）觀察圖形，發現對正方形每進行1次分形，周長增加1倍；每增加一個小正方形同時又減少一個相同的小正方形，即面積不變．
點評：此題考查了圖形的變化類，主要培養學生的觀察能力和概括能力，觀察出后一個圖形的周長比它的前一個增加1倍是解題的關鍵，本題有一定難度．