Question

（2013•海滄區一模）已知：在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OE⊥AC于點E，過點C作直線FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延長線于點D．
（1）求證：FD是⊙O的切線；
（2）設OC與BE相交于點G，若OG=4，求⊙O半徑的長；
（3）在（2）的條件下，當OE=6時，求圖中陰影部分的面積．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證FD是⊙O的切線，只需證明OC⊥CD即可；
（2）由條件可以知道E是AC的中點，O是AB的中點，就可以得出G是△ABC的重心，根據三角形的重0）定理就可以求出OC的長得出其結論．
（3）由條件可以求出sin∠ACO=

1

2

，就可以求出∠ACO=30°，可以求出∠DOC=60°，從而求出CD的值，求出S△DOC的面積，求出扇形COB的面積就可以求出陰影部分的面積．

解答：解：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC（⊙O的半徑），
∴∠CAO=∠ACO（等邊對等角），即∠EA0=∠ECO，
又∵OE⊥AC，
∴∠CEO=∠AEO=90°，
∴∠AOE=∠COE，∠EOC+∠OCE=90°，
∴∠AOE+∠OCE=90°，
∵∠FCA=∠AOE，
∴∠FCA+∠OCE=90°．
即∠FCO=90°．
∴OC⊥DF，
∴FD是⊙O的切線；
（2）連接BE交OC于G，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴G是△ABC的重心，
∴CG=2GO．
∵GO=4，
∴CG=8，
∴OC=8+4=12．
∴⊙O半徑的長為12．
（3）∵OE⊥AC，OE=6，OC=12，
∴sin∠ACO=

1

2

，
∴∠ACO=30°，
∴∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴tan∠COD=tan60°=

3

=

CD

OC

，且OC=12，
∴CD=12

3

．
∴S_△COD=12×12

3

÷2=72

3

．
S_扇形COB=

60×π×144

360

=24π，
∴陰影部分的面積為：72

3

-24π．

點評：本題試一道有關圓的綜合試題，考查了切線的判定及性質，三角函數的值的運用，垂徑定理的運用，三角形的面積，扇形的面積的運用．在解答中注意輔助線的運用．